作者博士毕业于加州大学伯克利分校机械工程系，目前为FANUC Advanced Research Lab研究员，从事工业机器人的研究。
引言
在协作机器人越来越受关注的今天，Rethink的倒闭让人倍感意外。Rethink的协作机器人设计理念和传统工业机器人有许多区别，其中最为显著的区别便是串联弹性驱动器（Serial Elastic Actuator, SEA）的使用。与一般工业机器人极力追求高刚性设计不同，为了保证人机协作的安全性，Rethink在其机器人的每个关节内置了弹性元件。这种设计使得即使由于操作不当导致机器人与人发生碰撞，大部分能量能够被弹性储能元件吸收而减轻对人造成的伤害。然而SEA的柔性在保证了人机协作安全性的同时，大部分机器人应用所追求的高速高精度性能要求难以得到保证。在人机协作机器人市场尚未完全成熟的今天，这种缺陷对Rethink来说是致命的。其实，即使对于高刚性的传统工业机器人，由于柔性导致的振动也是一直存在的问题。本文将讨论针对工业机器人的柔性进行的振动控制问题。
一
工业机器人的柔性问题
高速与高精度的矛盾
工业机器人的柔性主要来源于两个方面：关节柔性与连杆柔性，如图一所示。
图一：(a) 具有关节柔性的机器人(例如Baxter)。(b) 具有连杆柔性的机器人。
与Rethink制造的机器人一样，传统的工业机器人为了追求低成本而采用了高速低扭矩的电机。为了驱动沉重的负载以及同样沉重的机器人本体，机器人的关节中采用高减速比的减速器来放大驱动力矩。成熟的机器人减速器比如RV减速器和Hamonic Drive具有体积小，刚度高，几乎无死程差的特点，然而与高刚性的机器人本体结构相比，减速器的刚性相对而言弱了许多，因此成为了柔性的一个主要来源。从减速器引入的柔性被称为关节柔性。Rethink的机器人属于主动在关节增加柔性的设计。在关节柔性很大的情况下，机器人的运动会表现出肉眼可见的振动，如图二。
图二：关节柔性导致的振动
除了关节柔性之外，机器人自身连杆结构或者其所携带的工具以及负载也可能引入柔性，这种柔性被称为连杆柔性。一般来说，在机器人的设计阶段就会对自身连杆结构进行优化以增强结构刚性，除去某些极端情况例如国际空间站的Canadarm，机器人自身连杆的柔性几乎可以忽略不计。工业机器人的连杆柔性主要来源于某些大尺寸的工具或负载，例如图一(b)中的大型结构。在连杆柔性很大的情况下，机器人的运动中也会出现明显振动，如图三。
图三：连杆柔性导致的振动
为了保证运动精度，绝大多数工业机器人的结构被设计的十分坚固，因此在日常使用中几乎不会出现振动问题。然而在工业生产线试图将工业机器人的运动性能发挥到最大限度以缩短工作节拍时，高速高加速的运动使得机器人的结构及传动系统必须承担的惯性力变得很大。在这种情况下，机器人结构中柔性最强的部位会发生相对较大的弹性变形。在机器人运动停止时，弹性变形的恢复会导致明显的振动。对于有高运动精度要求的任务，这些振动所导致机器人精度下降是不可接受的。因此即使对于刚性很好的工业机器人，高速和高精度也难以同时实现。为了最大限度的提高工业机器人的运动速度同时避免振动，振动控制便成了一个重要的研究课题。
二
通过反馈实现的振动控制
以具有关节柔性的机器人为例，为了补偿机器人由于弹性变形所导致的振动，首先需要了解机器人在具有关节柔性情况下的动力学模型。机器人的关节柔性通常通过弹簧阻尼系统进行建模，如图四所示。其中左侧为机器人电机驱动器的动力学模型，右侧为机器人连杆机构的动力学模型。
图四：机器人关节柔性模型
对于多轴机器人，连杆侧的动力学模型便是常见的多刚体动力学模型。完整的柔性关节机器人动力学模型一般可以表示为：
其中公式(1)给出了机器人连杆侧的非线性模型，(2)给出了电机侧的动力学模型。电机侧与连杆侧通过减速器中的传动力，也就是弹簧和阻尼力连接。对于6轴机器人，系统的控制信号是一个6维电机力矩变量，但输出却包括了12个关节的位置(包括6个电机位置和6个连杆位置)，因此这是一个欠驱动系统。当机器人控制系统的设计将关节柔性忽略时，也许电机的运动位置能够被较为精确的控制，然而在加速度很高的情况下，大传动力会导致机器人的连杆位置与电机位置出现较大偏差，同时在运动结束时机器人连杆将在其平衡位置附近进行较长时间的振动。
如果我们可以较为精确的同时测量机器人电机与连杆的位置甚至速度，那么便有可能通过机器人连杆轨迹与参考运动轨迹的偏差来调整电机的控制力矩，从而实现对机器人连杆位置的精确控制来消除由于弹性变形导致的振动。这种反馈控制问题可以通过例如Integrator Backstepping之类的非线性控制方法来解决。设计思路如图五所示：1)首先将机器人连杆侧看作以关节传动力y为输入，以连杆位置q为输出的系统，并针对其特性设计能够实现精确连杆位置控制的机器人控制器Robot Controller以产生参考关节传动力；2)其次通过李雅普诺夫稳定性理论设计能够同时保证连杆位置误差与传动力控制误差收敛的驱动器控制器Actuator Controller，这一控制器以连杆实际位置误差与关节传动力控制误差为输入，以电机力矩为输出。通过这一设计，即使在关节具有很大柔性的情况下，机器人连杆位置也能够被精确的控制从而消除振动，如图六的仿真所示。
图五：Integrator Backstepping反馈控制器
图六：通过Backstepping反馈控制消除振动
在实际使用中，为了消除模型参数误差等因素的影响，需要加入自适应控制等其他控制方法。详细的设计细节参见[1]。大体来说，在机器人同时具有电机侧与连杆侧的传感器，并且在控制器设计中充分考虑动力学特性的前提下，反馈控制能够在很大程度上弥补由于机械结构柔性所造成的振动问题。
三
通过前馈实现的振动控制
反馈控制理论上能够补偿由于柔性所造成的振动问题。然而，和Rethink的机器人不同，大多数工业机器人并没有能够测量连杆侧状态的传感器，因此反馈控制对于现有的工业机器人并不是一个可行的解决方案。在传感器数量不足的情况下，前馈控制成为了振动抑制的一种可行选择。
以具有连杆柔性的机器人为例，假设机器人的工具或者负载相对机器人本体而言刚度较低，例如图七所示的情况，那么负载将成为机器人最主要的柔性来源。
图七：机器人柔性负载示例
柔性工具或负载的动态特性可以通过线性系统近似建模，例如图七的塑料板负载可以利用单个质量弹簧阻尼系统近似，如图八所示(其中r表示柔性负载末端的变形)。机器人运动控制的目标为驱动柔性负载的末端达到指定位置。由于负载自身存在柔性，当加快机器人的运动速度时，负载末端将出项明显的变形。
图八：柔性负载的简化模型
在各种对这种线性系统进行振动抑制的前馈方法中，Input Shaping是最为简单有效的方法。Input Shaping的原理非常简单：如果存在某个会导致系统产生残余振动的输入信号A，那么必然存在一个能够通过将原有输入进行适当延迟与缩放后得到的信号B，使得当信号A与B共同作于的结果是在某个时间点之后系统不存在残余振动。这一原理如图九所示，其中蓝线为信号A对应的系统响应，红线为信号B对应的系统响应，黑线为将A与B叠加后的系统响应。可以看到在图中A与B叠加的信号使得系统在0.5s之后没有残余振动。
图九：Input Shaping原理
当然Input Shaping并不是没有任何缺陷，其中最大的问题在于Input Shaping这一方法本身会对系统响应引入延迟，这一延迟为系统半固有周期的倍数(例如0.5周期，1个周期，1.5个周期...)，同时这一延迟会随着Input Shaping设计鲁棒性的增强而增长。由于这一延迟的存在，Input Shaping消除系统振动的同时也减慢了运动速度。
为了解决Input Shaping的延迟问题，一种自然的思路便是将系统原有输入信号加速以缩短运动时间，然后对加速后的信号执行Shaping。这样即使Input Shaping引入了延迟，被加速之后再被延迟的信号仍然能实现与原有输入信号相同的长度。Zero Time Delay Input Shaping便是基于这种思路设计的方法。
在实际测试中，Zero Time Delay Input Shaping 被证实能够在有效减小系统残余振动的前提下不引入延迟。然而，当期望的运动时间和系统的固有周期接近时，系统原有的输入信号需要被大幅加速，这一操作将导致经过加速再Shaping后的信号非常不光滑，从而造成更加严重的高频振动。Modified Zero Time Delay Input Shaping(图十)正是为了解决这一问题而提出的设计。Modified Zero Time Delay Input Shaping的设计认为，如果能够减小Input Shaping所需要的延迟时间，那么对原有输入信号的加速操作的负担将大为减轻，从而减小产生不光滑输入信号的可能性。
图十：Modified Zero Time Delay Input Shaping
Modified Zero Time Delay Input Shaping的设计应用了Laplace变换的基本性质，即：如果将信号f与信号g同时进行时域的缩放(例如同时加速)，那么缩放后的f’与g’的卷积f’*g’将与f*g成比例。利用这一性质，可以对系统设计特定的Compensator，使得系统对任意输入的响应均相当于对原始响应进行加速后的结果。这样相当于缩短了系统的固有周期，从而使得Input Shaping所需的延迟时间变得更短。详细的设计细节参见[2], [3] 。实验结果显示Modified Zero Time Delay Input Shaping与Zero Time Delay Input Shaping相比都可以在不引入延迟的情况下有效抑制残余振动，但是Modified Zero Time Delay Input Shaping能够避免输入信号的不光滑，如图十一。实验效果如图十二所示。
图十一：Modified Zero Time Delay Input Shaping的效果
图十二：振动抑制实验结果
结语
机器人的振动控制是一个重要却又容易被人忽视的课题。Rethink弹性驱动器所导致的问题值得我们思考：在追求机器人功能性的同时，针对机器人运动性能的开发是否同样重要呢？
