2025/03/04 13:21

半个世纪后，著名的麦凯猜想终获证明！数学家夫妇终结了一个未解群论难题

故事始于 2003 年，一位名叫 Britta Späthen 的德国研究生首次接触到了麦凯猜想（McKay conjecture），这是数学群论中最大的未解难题之一。

作为群论的一个著名猜想，麦凯猜想由数学家约翰・麦凯（John McKay）于 1972 年提出，主要涉及有限群的表示论，特别是关于群的不可约特征标的性质。

最开始， Britta Späthen 的目标并没有那么大。她希望证明一两个定理，逐步推进这一猜想的解决，就像她之前许多其他数学家所做的那样。但多年来，她一次又一次地被麦凯猜想吸引。

像这样一心一意地追求如此困难的问题可能会伤害她的学术生涯，但 Britta Späthen 还是把所有的时间都投入其中。之后，她认识了巴黎 Jussieu 数学研究所的数学家 Marc Cabanes，后者受到她的启发，也开始对麦凯猜想着迷。在一起工作期间，两人坠入爱河，并最终组建了家庭。

数学中充满了极其复杂的抽象对象，不可能完全对它们进行研究。不过，数学家发现，通常只需查看此类对象的一小部分即可了解它们更广泛的属性。因此，当数学家想要理解一个极其复杂的函数时，他们可能只需要查看它的一小部分可能输入的行为，就足以说明该函数对所有可能的输入的作用。

麦凯猜想就是这样的典型例子，如果你想全面地描述一个群（一个极其难以研究的重要数学实体），你只需要看其中的一小部分就行了。

^{图（左）为 Britta Späth，（右）为 Marc Cabanes}

自 20 世纪 70 年代提出这个猜想后，数十位数学家都曾尝试进行证明。他们取得了部分进展，并在此过程中学到了很多关于群的知识（群是描述数学系统中各种对称性的抽象对象）。然而，完整的证明似乎仍然遥不可及。

终于，在 Britta Späth 接触麦凯猜想 20 年后、在她遇到 Marc Cabanes 十多年后，这对夫妇终于完成了证明。当他们两人宣布成果时，同事们都惊呆了。斯坦福大学的统计学与数学教授 Persi Diaconis 祝贺道，「经过多年的努力钻研，她做到了，他们终于做到了。」

他们在 2024 年 7 月发表了论文《The McKay Conjecture on character degrees》，文章篇幅有 68 页。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2410.20392

素数（primes）的力量

麦凯猜想始于对一个奇怪巧合的观察。

在朋友的眼中，数学家约翰・麦凯是一位「才华横溢、说话轻声细语、令人着迷」的人，他以能在意想不到的地方发现数值模式而闻名。这位康考迪亚大学的数学家最著名的可能要属「怪物月光」猜想，该猜想在 1978 年提出，涉及怪物群（Monster group）和模形式（modular forms）之间的神秘联系。最终在 1992 年得到了证明，引起了数学界的广泛关注。

在约翰・麦凯去世几年前，他还发现了很多其他重要的关联，其中很多都涉及到了群。群是一组元素以及这些元素相互关联的规则的结合，它可以被看作是对称性的集合，即以特定方式保持一个形状、函数或其他数学对象不变的变换（transformation）。尽管群很抽象，但它们非常有用，并且在数学中发挥了核心作用。

1972 年，约翰・麦凯专注于有限群，即元素数量有限的群。他观察到，在很多情况下，你可以通过查看一个有限群中的很少部分元素来推断该群的重要信息。并且，约翰・麦凯特别研究了在原始群内部形成一个特殊、较小群（被称为 Sylow 正则化子）（normalizer）的元素。

假设有一个包含 72 个元素的群，仅凭这一点不会告诉你太多信息：这样大小的群能有 50 个（每个都不同）。但是，72 可以写成素数（2 × 2 × 2 × 3 × 3）的乘积，即 2^3 × 3^2。通常来说，描述群大小所需要的不同素数越多，群就越复杂。你可以在这些素数的基础上将群分解为更小的子群。

这里，你可以分别得到具有 8 个（2^3）元素和 9 个（3^2）元素的子群。通过研究这些子群，你可以了解更多有关整个群结构的信息，比如群由哪些构建块组成。

现在，取其中一个子群，并添加一些特定元素，以创建一个特殊的子群 ——Sylow 正则化子。在这个 72 元素群中，你可以为每个「8 元素」和「9 元素」的子群构建对应的不同的 Sylow 正则化子，它们分别成为 2-Sylow 正则化子和 3-Sylow 正则化子。

Sylow 正则化子以及它们所构建的子群，可以告诉数学家们很多关于原始群的信息。然而，约翰・麦凯假设这种联系比任何人想象中的都要强大，这就不再仅仅是通过 Sylow 正则化子洞察一个有限群整体结构了。他断言，如果数学家想要计算一个可以帮助他们描述群的关键量，则只需查看一组特定 Sylow 正则化子中的一个即可：Sylow 正则化子将由完全相同的数值来表示。

该量用来计算某类「表示」的数量，你可以使用被称为矩阵的数字数组来重写群的元素。这样的计数可能看起来很随意，但它能让数学家了解群中的元素如何彼此关联，并且涉及到了其他重要属性的计算。

至于为什么约翰・麦凯的量对于有限群及其 Sylow 正则化子来说应该总是相同的，似乎没有充分的理由来说明。Sylow 正则化子可能只包含更大群中的一小部分元素。与此同时，Sylow 正则化子通常具有不同的结构。

这就是约翰・麦凯的推测，对于所有有限群都是如此。如果真是这样，那么数学家的生活就会变得轻松多了：Sylow 正则化子比它们的母群更容易处理。这也暗示着存在一个更深的数学真理，一个数学家尚未掌握的真理。

在约翰・麦凯首次观察到这一巧合的一年后，一位名叫 Marty Isaacs 的数学家证明了该巧合适用于一大类群。但随后，数学家们陷入了困境。他们能够证明该巧合适用于某个或另一个特定的群，但还有无数个群需要证明。

因此，证明整个猜想似乎非常困难。事实证明，此问题要想取得重要进展，需要数学家们解决史上最艰巨的数学难题之一。

麦凯猜想的一小步，群论的一大步

对有限群的所有构件进行分类，需要数千个证明，花 100 多年的时间才能完成。但在 2004 年，数学家们终于成功地证明，所有的构建块都必须属于三类中的一类，否则就属于 26 个异常值。

长期以来，数学家们一直认为，一旦完成对有限群的分类，这将有助于简化诸如麦凯猜想这样的问题。

然而，这需要有人证明这种策略确实可行。

就在有限群分类正式完成的那一年，Isaacs、Navarro 和 Gunter Malle 找到了重新表述麦凯猜想的正确方法，只需专注于一组较小的群。

对于这个新集合中的每个群，他们都必须展示一些比麦凯猜想提出的更强的东西。

Isaacs、Navarro 和 Malle 证明了，如果这个更强的陈述对这些特定的群成立，那么麦凯猜想对所有有限群都必然成立。

^{Gabriel Navarro 与两位同事将群论中一个重大的开放猜想转化为一个可处理的问题。}

问题的突破口在于他们对问题的重构。此后几年，数学家们利用这一突破解决了麦凯猜想的大部分情况。此外，这一方法还帮助他们简化了其他涉及通过局部研究整体的问题。丹佛大学的数学家 Mandi Schaeffer Fry 表示，这一方法已成为解决许多猜想的重要蓝图。

然而，对于一类称为「李型群」的群，新版麦凯猜想仍是一个开放问题。这些群的表示特别难以研究，要证明它们之间的关系满足 Isaacs、Navarro 和 Malle 提出的条件非常具有挑战性。但 Malle 的一名研究生 Britta Späth 正在研究这一问题。

执着于一件事的 Britta Späth

2003 年，Britta Späth 来到卡塞尔大学，开始攻读博士学位。她几乎是为研究麦凯猜想而生的：甚至在高中时，她就能花费数天甚至数周的时间来钻研一个问题，她特别喜欢那些考验她毅力的问题。

Britta Späth 投入了大量时间深入研究群表示理论。研究生毕业后，她决定利用自己在这方面的专业知识继续攻克麦凯猜想。「她有一种疯狂但又非常出色的直觉，」她的朋友兼合作者 Schaeffer Fry 表示。

几年后的 2010 年，Britta Späth 前往巴黎西岱大学工作，正是在那里她遇到了 Marc Cabanes。Britta Späth 经常去他的办公室请教问题。

之后，Britta Späth 和 Marc Cabanes 一起开始着手证明每一个类别中的猜想，并在接下来的十年中报告了多项重大成果。

经过深入研究他们对李型群有了深刻的理解。在研究过程中，他们开始交往，有了两个孩子，并最终在德国定居。

到 2018 年，他们只剩下一种李型群尚未攻克。一旦完成这一类别的证明，他们就将证明麦凯猜想。

继续寻找下一个执念

「攻克第四种李型群困难重重，令人意外的挫折也很多」，Britta Späth 说。但最终，她和 Marc Cabanes 逐渐证明了这些群的表示数量与它们的 Sylow 正则化子的表示数量相匹配 —— 并且这些表示的匹配方式满足了必要的规则。终于，最后一个案例完成了。麦凯猜想的正确性也随之得以自动证明。

2023 年 10 月，在他们对自己的证明结果有了足够的信心后，他们终于在一个有 100 多名数学家的房间里宣布了这一成果。一年后，他们将证明过程发布到网上，供整个数学界消化。曼彻斯特大学的 Radha Kessar 评价说：这是一个绝对令人惊叹的成就。

如今，数学家们可以通过单独研究群的 Sylow 正规化子来研究群的重要性质。

在那之后，他们两人继续前行，寻找他们的下一个执念。据 Britta Späth 透露，到目前为止，还没有任何问题像麦凯猜想那样深深地吸引她。「当你完成了一件大事之后，再找到面对下一件大事的勇气和热情就变得很困难了，有时候这真的是一场战斗。但同时，它也赋予了你每一天的意义。」

^{原文链接：https://www.quantamagazine.org/after-20-years-math-couple-solves-major-group-theory-problem-20250219/}

理论McKay conjecture