2024/12/08 15:00

困扰数学家近60年的搬沙发难题疑似被解决！119页论文证明最优解，百万网友围观

《老友记》中的罗斯终于能把沙发搬进屋了。

生活中处处充满数学，比如在经典美剧《老友记》中，罗斯要搬家，却在和瑞秋抬沙发上楼梯扶手时翻了车。这涉及了数学领域一个著名的未解决难题 —— 移动沙发问题（the moving sofa problem）。

^{来源：《老友记 S05E16》}

该问题是由加拿大数学家 Leo Moser 于 1966 年正式提出：在宽度为 1 的 L 形平面走廊中，能够通过一个直角转弯的「沙发」的最大面积是多少？

1968 年，数学家 John Michael Hammersley 提出了一种简单的解法。他将沙发设计成类似于一个电话听筒的形状，由两个四分之一圆和一个中间的矩形块组成，中间的矩形块中挖去了一个半圆形，从而得出的沙发最大面积为 2.2074。

但遗憾的是，这并不是最优解。

1992 年，美国数学家 Gerver 在 Hammersley 沙发的基础上进行了改进，算出的最大沙发面积为 2.2195，虽然比 Hammersley 沙发面积略大一些，但在方法上却聪明得多。

Gerver 沙发由 18 条不同的曲线段组成，其中包括圆弧、圆的渐开线以及圆的渐开线的渐开线等多种曲线。每条曲线段都由一个单独的解析表达式描述，这使得 Gerver 沙发在数学上非常复杂。

Gerver 推测他的解决方案是最优的，但他无法证明他的沙发是唯一一个（并且是最大面积的）满足这个强条件的沙发。

2024 年 12 月 2 日，韩国学者 Jineon Baek 发表了一篇新论文，声称证明了 Gerver 确实是正确的 —— 他的沙发是最优的。这项研究在社交媒体（如 x）上的热度非常高，引起了很多人的关注。

^{图源：x@Scientific_Bird}

^{图源：x@morallawwithin}

不过，Jineon Baek 的证明论文足足有 119 页，题目为《Optimality of Gerver’s Sofa》。相关专家验证证明的正确性还需要一些时间。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2411.19826

这道困扰人类 58 年的数学难题终于有了答案，不少网友也发表了自己的看法。

「我甚至不是数学家，自从 20 年前听说这个问题后，我就一直在思考它。每次我需要把东西通过门时，我都会想到这个问题。」

「我没想到这个形状会是最优的，这 18 个部分看起来不够优雅。」

证明过程简述

论文共分 8 章，目录如下：

摘要只有一句话，「通过证明具有 18 个曲线段的 Gerver 沙发的确达到了最大面积 2.2195，进而解决了移动沙发问题」。

下图为 Gerver 的沙发 G。刻度表示构成 G 边界的 18 条解析曲线和线段的端点，包含 G 的支撑走廊 L_t 在右侧以灰色表示。

在证明 Gerver 的沙发 G 达到最大面积的过程中，作者除了在科学计算器上进行数值计算之外，没有使用任何的计算机辅助。下图 1.3 为从走廊（顶部）和沙发（底部）视角来看移动沙发的移动。

下面为作者要证明的定理 1.1.1。

这个问题之所以很难，是因为没有一个通用的公式可以计算所有可能的移动沙发面积。因此，为了解决这个问题，作者证明了最大面积的移动沙发 S_max 的一个属性，被称为可注入性条件（injectivity condition）。

对于每个满足条件的移动沙发 S，作者将定义一个更大的形状 R，它类似于 Gerver 沙发的形状（下图 1.2）。那么 R 的面积 Q (S) 就是 S 面积的上限，如果是 Gerver 沙发 G，则 Q (S) 与 S 的精确面积相匹配。S 的可注入性条件确保区域 R 的边界形成 Jordan 曲线，从而能够使用格林定理计算 Q (S)。

然后，移动沙发 S 面积的上界 Q (S) 相对于 S 的最大值如下所示：作者使用 Brunn-Minkowski 理论将 Q 表示为凸体元组 (K,B,D) 空间 L 上的二次函数（上图 1.2），并使用 Mamikon 定理建立 Q 在 L 上的全局凹性（下图 1.13）。

作者使用加州大学戴维斯分校数学系教授 Dan Romik [Rom18] 关于 Gerver 沙发 G 的局部最优方程，来证明 S = G 局部最大化 Q (S)。由于 Q 是凹的，因此 G 也全局最大化 Q。并且，由于上界 Q 与 G 处的面积相匹配，因此沙发 G 也全局最大化了面积，从而证明定理 1.1.1。

具体来讲，定理 1.1.1 的完整证明分为以下三个主要步骤：

步骤 1 ：限制最大面积移动沙发 S_max 的可能形状；
步骤 2 ：建立 S_max 的可注入性条件；
步骤 3 ：构建满足可注入性条件的移动沙发 S 面积的上界 Q (S)，并最大化关于 S 的 Q (S)。

作者提供了步骤 1、2、3 的更细分步骤。

其中步骤 1-(a) 将 S_max 的可能形状缩小为单调沙发（monotone sofa），即由支撑走廊内角雕刻出的凹痕的凸体（下图 1.4）。

步骤 1-(b) 重新证明了 Gerver 的一个重要局部最优条件，即 S_max 的边长应该相互平衡（定理 1.3.1）。

由于 Gerver 的原始证明存在逻辑漏洞，没有解决移动沙发的连通性问题，因此作者引入了新的想法并重新进行了证明。步骤 1-(c) 使用前面的步骤和基本几何来表明 S_max 在移动过程中旋转了整整一个直角。

步骤 2 证明了 S_max 上的可注入性条件，这是之后建立上限 Q 的关键。它表明 L 内角 (0,0) 的轨迹在移动沙发的视角（参考系）中不会形成自环（下图 1.9）。

为了证明 S_max 的这一条件，作者在 S_max 上建立了一个新的微分不等式（等式 (1.9)。该不等式受到了 Romik 的一个 ODE 的启发，该 ODE 平衡了 Gerver 沙发的微分边（等式 (1.8)）。

步骤 3-(a) 将所有移动沙发的空间 S 扩展为具有单射条件的凸体元组 (K,B,D) 的集合 L，使得每个 S 一一映射到 (K,B,D) ∈ L（但不一定到 L）。该凸体描述了包围 S 的区域 R 的不同部分（上图 1.2）。

步骤 3-(b) 定义了扩展域 L 上的上界 Q。作者遵循 R 的边界，并使用格林定理和 Brunn-Minkowski 理论中关于 K、B 和 D 的二次面积表达式来表示其面积 Q。同时使用单射条件和 Jordan 曲线定理严格证明 Q (K,B,D) 是 S 面积的上界。

步骤 3-(c) 使用 Mamikon 定理确定 Q 在 L 上的凹度（上图 1.13）。步骤 3-(d) 计算由 Gerver 沙发 G 产生的凸体 (K,B,D) ∈ L 处 Q 的方向导数。Romik [Rom18] 在 G 上的局部最优 ODE 用于表明方向导数始终为非正值。这意味着 G 是 Q 在 L 中的局部最优值。Q 在 L 上的凹度意味着 G 也是 Q 在 L 中的全局最优值。由于 G 处 Q 的值与面积匹配，沙发 G 也全局最大化了面积，最终完成定理 1.1.1 的证明。

更具体的证明细节请参考原论文。

作者介绍

这篇论文的作者 Jineon Baek，本科毕业于韩国浦项科技大学，博士期间就读于美国密歇根大学安娜堡分校。现为韩国首尔延世大学的博士后研究员，导师是 Joonkyung Lee。