数学定理证明一直被视为构建智能机器的关键能力。证明一个特定的猜想是真是假，需要使用符号推理等数学知识，比简单的识别、分类等任务要难得多。
近日，Meta AI 构建了一个神经定理证明器 HyperTree Proof Search（HTPS），已经解决了 10 场国际数学奥林匹克竞赛 (IMO) 中的问题，比以往任何系统都更多。此外，该 AI 模型的性能比数学基准 miniF2F 上的 SOTA 方法高出 20%，比 Metamath 基准上的 SOTA 方法高出 10%。
论文地址：https://arxiv.org/pdf/2205.11491.pdf
在一定意义上，定理证明要比构建 AI 来玩国际象棋等棋盘游戏更具挑战性。当研究者试图证明一个定理时，可能移动的动作空间不仅很大而且有可能是无限的。相比较而言，在国际象棋或围棋中，这些游戏的一系列走法会被预测出来，即使算法没有给出最好的走法也影响不大。而在定理证明中，当算法走入死胡同就没办法解决了，性能再好的求解器也只是白费力气。Meta AI的新方法解决了这个棘手的问题，LeCun也转推称赞。
我们用一个例子来说明 HTPS 的优势：假设 a 和 b 都是质因子为 7 的自然数，并且 7 也是 a + b 的质因子，如果假设 7^7 可以整除(a + b)^7 - a^7 - b^7，那么请证明 a + b 至少是 19。
假如让人类来证明的话，他们大概率会用到二项式。而 HTPS 使用 Contraposition 方法，大大简化了方程，然后再检查多种不同的情况。
如下图为本文模型发现的证明示例，即在 miniF2F 中另一个 IMO 问题的证明：
更接近人类的推理
为了使用计算机编写正式的数学证明过程，数学家最常用的方法是交互式定理证明器（ITP）。下图 1 是交互式定理证明器 Lean 中的一个证明示例：
相应的证明树如下：
给定一个要自动证明的主要目标 g，证明搜索与学习模型和定理证明环境交互以找到 g 的证明超树。证明搜索从 g 开始逐渐扩展出一个超图。当存在从根到叶子均为空集的超树时，即为证明完成。
以下图 5 证明过程为例，假设策略模型 P_θ 和批评模型 c_θ，以目标为条件，策略模型允许对策略进行抽样，而批评模型估计为该目标找到证明的能力，整个 HTPS 的证明搜索算法以这两个模型为指导。此外，与 MCTS 类似，HTPS 存储访问计数 N(g, t)（在节点 g 处选择策略 t 的次数）和每个策略 t 针对目标 g 的总动作（action）值 W(g, t)。这些统计数据将用于选择阶段。
HTPS 算法迭代地重复图 5 描述的选择、扩展、反向传播三个步骤来增长超图，直到找到证明或者超出扩展预算。
Meta 在三个定理证明环境中开发和测试 HTPS：a）Metamath，b）Lean 和 c）Metamath。Metamath 附带一个名为 set.mm 的数据库，其中包含 30k 个人类编写的定理。Lean 附带一个由人类编写的 27k 定理库，称为 Mathlib。最后，由于 Metamath 证明非常难以理解，因而 Meta 开发了自己的环境，称为 Equations，仅限于数学恒等式的证明。
为了模仿人类思维，神经定理证明器需要将特定状态和当前状态（对问题的理解）联系起来。Meta 首先从强化学习开始，该方法与现有的证明助手（proving assistants，例如 Lean）紧密结合。
Meta 将证明的当前状态解释为图中的一个节点，并将每一个新步骤解释为一条边。此外，研究者意识到还需要一种方法来评估证明状态的质量——类似于在棋盘游戏中 AI 需要评估游戏中的特定位置。
受蒙特卡洛树搜索 (MCTS) 启发，Meta 采用在两个任务之间进行循环：在给定证明状态下使用的合理参数的先验估计；给定一定数量的参数后的证明结果。
HTPS 是标准 MCTS 方法的变体，在该方法中，为了探索图，Meta 利用关于图的先验知识来选择一组叶进行展开，然后通过备份修正来改进初始知识。图是逐步探索的，关于图结构的知识随着迭代得到细化。
实验
每个实验都在单一环境（例如 Lean、Metamath 或 Equations）上运行，并将模型与 GPT-f 进行比较，它代表了 Metamath 和 Lean 的最新技术。
在 Lean 中，该研究在 A100 GPU 上使用 32 个训练器和 200 个证明器进行实验。经过 1 天的训练（即 (200 + 32) A100 天的计算），miniF2F 中的每个状态（statement）平均被采样 250 次，在 327 个状态中已经有 110 个被解决。本文的模型在 miniF2F-test 中优于 GPT-f，具有大约 10 倍的训练时间加速。
在 Metamath 中，该研究在 V100 GPU 上训练模型，使用 128 个训练器和 256 个证明器，表 3 报告了监督模型和在线训练模型的结果。
在 Equations 中，该研究使用 32 个训练器和 64 个证明器进行实验，在这种环境下，模型很容易学习随机生成器的训练分布，并解决所有综合生成的问题。
参考链接：https://ai.facebook.com/blog/ai-math-theorem-proving/
