【编者按】
变分不等式（Variational Inequality，以下简称VI），其实是一种很有意思的建模思路。不过即使在我和做优化的同行的日常交流当中，一般话题也很少能交流到VI上。本回答，我将给一个关于VI直观和大概的介绍，并指出它的一些潜在价值。
的正式数学形式定义为：任给定义在巴纳赫空间
的一个子集
上的泛函
，其中
是
的对偶空间。
等价于求满足下列条件的点
，使得
(注意内
是一定存在的)
为了直观起见，我们只考虑
且
是n维实数域上任意的闭凸集（closed convex set）。这当然只是VI能够model的很小一部分情况，不过在对本篇回答旨在给的直观介绍已经足够了。
在研究VI这个领域方面，我国的何炳生老师应该是国内领先，他也是专注了一辈子这个方向的研究。比如之前他和斯坦福的叶荫宇老师在证明ADMM算法收敛性的工作里就集中使用了VI相关的技巧。本文也是主要参考了何老师主页上关于VI的讲义，如果大家对VI想有更深入的了解（比如具体不同算法的设计和分析理论），强烈建议阅读何老师网站上更加深入的讲义内容。
首先我们指出一般的光滑凸优化都可以看成一个单调的VI问题。
我们考虑凸优化问题：
，注意
是定义在
上的可微凸函数。利用凸优化的最优条件，我们知道该问题的最优解
等价于在该点上的所有可行方向都不是梯度下降方向。证明也很简单，必要性方向用反证法：给定一个
，如果存在这样一个方向，那么必然就存在
使得
，这和
的定义矛盾。充分性方向利用凸函数的局部极小=全局极小的性质也是显然的。
然而上述条件就等价于
的定义!
我们还可以进一步指出，当我们想显式求解一个凸优化问题的时候（比如我们将
X 定义为
，这个时候我们等价
的形式为将VI mapping拓展为
。请读者自行练习，应该基于前一部分的基础是很容易推导的（提示：拉格朗日对偶；KKT条件）。
另外，我们指出
可微并不是必要的，不然就有违我一开始所说的VI非常general了。这个时候，我们的凸优化问题仍然等价于求对应拉格朗日函数的鞍点，即定义
，那么鞍点
等价于满足条件
这个时候的等价VI形式仍然留给大家做练习。值得注意的是，这个时候的VI会长的和之前我们看到的形式略有区别，这也叫做混合变分不等式，但很多时候也就不加区分统称VI了。（提示：可以将
从
中分离出来）
都不可微的情况当然也是可以的，不过这个时候就要使用次梯度（subgradient）来定义
了。
VI还和一类更general的非线性互补问题等价。具体来说，非线性互补问题描述了一类集合
，这类问题在资源供给，交通疏导中都有广泛的运用。
最后，我想着重提一下VI在刻画multi-agent system，即具有可分离结构的优化问题中的应用。不失一般性，我们就考虑2-block的情形，考虑如下优化问题 
，即我们的目标函数对于变量
可分离，我们的线性约束同样对于变量
可分离。简单起见，假设 
可微，我们对于这个问题的等价
中的F取为 
.
这个时候，虽然本文我并没有讲VI的算法应该如何设计，但大家应该已经能感觉到VI的mapping已经抓到了这个问题的可分离结构，即我们完全可以分布式地更
的值而不需要知道另一个变量准确的值（当然，对偶变量
的更新需要所有变量的值，可以把对偶变量看作coordinator）。那么，假设原问题里我们可以把原空间分解成大量小的子问题（比如我们有n个可分离的目标函数和一个n-block可分离的约束矩阵），我们可以想象这个VI具有一个可以高度分布式的算法。这也是n-block ADMM算法（虽然一般来说n>=3理论上的收敛性就不太好保证了）在实际中可以使用的思路。
最后的最后，如果我们考虑更一般的情形，约束具有可分离结构但不一定是线性的，这类multi-agent optimization问题实际上代表了计算一类generalized Nash equilibrium：直观来说，也就是每个agent都有自己private的目标函数和约束，且在决策时也只能控制自己的那一部分变量，VI同样能给出计算这类equilibrium的一个formulation。具体详情请有兴趣的同学可以参阅参考文献[4]。
参考文献
[1] http://maths.nju.edu.cn/~hebma/
[2] Chen, Caihua, et al. "The direct extension of ADMM for multi-block convex minimization problems is not necessarily convergent." Mathematical Programming 155.1-2 (2016): 57-79.
[3] He, Bingsheng, Min Tao, and Xiaoming Yuan. "Convergence rate analysis for the alternating direction method of multipliers with a substitution procedure for separable convex programming." Mathematics of Operations Research 42.3 (2017): 662-691.
[4] Facchinei, Francisco, and Christian Kanzow. "Generalized Nash equilibrium problems." 4OR 5.3 (2007): 173-210.
