不知道从什么时候开始，我发现我也掉到了 GAN 的大坑里边了，唉，争取早日能跳出来。
本文介绍的是我最近提交到 arXiv 的一个关于 GAN 的新框架，里边主要介绍了一种对概率散度的新理解，并且基于这种理解推导出了一个新的 GAN。整篇文章比较偏理论，对这个 GAN 的相关性质都做了完整的论证，自认为是一个理论完备的结果。
先摆结论：
1. 论文提供了一种分析和构造概率散度的直接思路，从而简化了构建新 GAN 框架的过程；
2. 推导出了一个称为 GAN-QP 的 GAN 框架，这个 GAN 不需要像 WGAN 那样的 L 约束，又不会有 SGAN 的梯度消失问题，实验表明它至少有不逊色于、甚至优于 WGAN 的表现。
▲ GAN-QP效果图
论文的实验最大做到了 512 x 512 的人脸生成（CelebA HQ），充分表明了模型的有效性（效果不算完美，但是模型特别简单）。有兴趣的朋友，欢迎继续阅读下去。
直面对偶空间
我们现在要构建一个 GAN 框架，一般包含三个步骤：
寻求一种良好的概率散度；
找出它的对偶形式；
转化为极小-极大游戏（min-max game）。
问题是：真正对训练过程有用的是第二、第三步，第一步并不是那么必要。
事实上，从原空间要定义一个新的散度很难，定义了之后也不一定容易转化为对偶形式。然而，我们可以直接在对偶空间分析，由此可以发现一批新的、形态良好的散度。换言之，我们其实可以直接在对偶空间中论述一个式子是否满足散度的定义，从而直接给出可优化的目标，而不需要关心它具体是 JS 散度还是 W 距离了。
下面我们来举例说明这个思路。
散度
首先我们来给出散度的定义：
如果 D[p,q] 是关于 p,q 的标量函数，并且满足：
D[p,q]≥0 恒成立；
D[p,q]=0⇔p=q。
那么称 D[p,q] 为 p,q 的一个散度，散度与“距离”的主要差别是散度不用满足三角不等式，也不用满足对称性。但是散度已经保留了度量差距的最基本的性质，所以我们可以用它来度量 p,q 之间的差异程度。
SGAN
基本定义
我们先来看 SGAN 中的判别器 loss，定义：
这其实就是 JS 散度的对偶形式。但是我们可以直接基于这个定义来证明它是一个散度，然后讨论这个散度本身的性质，而根本不需要知道它是 JS 散度。
怎么证明？只需要证明这个结果满足刚才说的散度的两点要求。注意，按照我们的逻辑，我们不知道它是 JS 散度，但我们可以从数学角度证明它是一个散度。
其实如果读者真的明白了式 (1) 的含义，证明就不困难了。式 (1) 先定义了一个期望的式子，然后对 T 取最大（用更准确的说法是求“上确界”），取最大的结果才是散度。再强调一遍，“取最大之后的结果才是散度”，
这个式子并不是散度。
具体的证明过程略微冗长，就不完整摆出来了，请读者自行去看原文的附录。或者看下面的 WGAN 的部分，因为 WGAN 的部分相对简单。
对抗网络
假如有了散度之后，我们就可以通过缩小两个概率分布的散度，来训练生成模型了。也就是说接下来要做的事情应该是：
注意 D[p(x),q(x)] 是通过 maxT 操作实现的，所以组合起来就是一个 min-max 的过程，比如前面的例子，等价地就是：
这就是 SGAN。
所以我们发现，GAN 的过程其实就两步：1）通过 max 定义一个散度；2）通过 min 缩小两个分布的散度。这里的新观点，就是将 max 直接作为散度的定义的一部分。
性能分析
我们知道 SGAN 可能有梯度消失的风险，这是为什么呢？我们考察一个极端情形：
其中 α≠β。这样一来，两个分布分别只是单点分布，完全没有交集。这种情况下代入 (1)，结果就是：
注意我们对 T 没有任何约束，所以为了取最大，我们可以让 T(α)→+∞,T(β)→−∞，从而得到上确界是一个常数 log2。即这种情况下 D[p(x),q(x)]=log2。
这就是说，对于两个几乎没有交集的分布，式 (1) 定义的散度给出的度量结果是常数 log2，常数就意味着梯度是 0，无法优化。而 WGAN 的那两篇文章则表明，“没有交集”理论上在 GAN 中是很常见的，所以这是 SGAN 的固有毛病。
一般的f散度
上面的几个小节已经完整了呈现了这种理解的流程：
1. 我们通过 max 定义一个数学式子，然后可以从数学角度直接证明这是一个散度，而不用关心它叫什么名字；
2. 通过 min 最小化这个散度，组合起来就是一个 min-max 的过程，就得到了一种 GAN；
3. 为了检查这种散度在极端情况下的表现，我们可以用 p(x)=δ(x−α),q(x)=δ(x−β) 去测试它。
上述关于 SGAN 的论述过程，可以平行地推广到所有的 f-GAN 中（参考《f-GAN简介：GAN模型的生产车间》[1]），各种 f 散度其实没有本质上的差异，它们有同样的固有毛病（要不就梯度消失，要不就梯度爆炸）。
WGAN
基本定义
现在我们转向一类新的散度：Wasserstein 距离。注意 Wasserstein 距离是一个严格的、满足公理化定义的距离，不过我们这里只关心它的散度性质。定义：
这里：
而 d(x,y) 是任意一种现成的距离。
可以直接证明它是一个散度。这个证明还算经典，所以将它写在这里：
1. 不管是什么 p(x),q(x)，只要让 T(x)≡0，我们就得到
，因为散度的定义是要遍历所有的 T 取最大的，所以它至少不会小于 0，这就证明了第一点非负性；
2. 证明 p(x)=q(x) 时，W[p(x),q(x)]=0，也就是 W[p(x),p(x)]=0，这几乎是显然成立的了；
3. 证明 p(x)≠q(x) 时（严格来讲是它们不等的测度大于 0），W[p(x),q(x)]>0。这个相对难一点，但其实也很简单，只需要令 T0(x)=sign(p(x)−q(x))，那么显然有：
这样我们就直接地证明了 W[p(x),q(x)] 是满足散度的定义的。
对抗网络
同样地，有了新散度，就可以定义新 GAN 了：
这就是 WGAN，相应的参考资料有互怼的艺术：从零直达WGAN-GP、WGAN-div：一个默默无闻的WGAN填坑者。
性能分析
同样地，用 p(x)=δ(x−α),q(x)=δ(x−β) 去测试 W[p(x),q(x)] 散度的性能，我们得到：
注意我们有 L 约束 ‖T‖L≤1，这意味着 |T(α)−T(β)|≤d(α,β)，等号可以取到，所以：
结果不是常数，所以即使在这种极端情况下我们可以也拉近两个分布的距离。所以从这一点看，WGAN 要比 SGAN 要好。
L约束
WGAN 的遗留问题就是如何往判别器加入 L 约束，目前有三种方案：参数裁剪、梯度惩罚、谱归一化，请参考深度学习中的Lipschitz约束：泛化与生成模型和WGAN-div：一个默默无闻的WGAN填坑者。
参数裁剪基本已经被弃用了。梯度惩罚原则上只是一个经验方法，有它的不合理之处，而且要算梯度通常很慢。谱归一化看起来最优雅，目前效果也挺好，不过也有限制的太死的可能性。进一步讨论请看WGAN-div：一个默默无闻的WGAN填坑者。
新散度，新GAN
现在的结论是：SGAN 可能有梯度消失的风险，WGAN 虽然很好，但需要额外的 L 约束。那么很自然就会问：有没有不需要 L 约束，又不会梯度消失的 GAN？鱼与熊掌能否兼得？
还真的可以，下面带你找一个。不对，其实不止一个，带你找一批都行。
平方势散度
基本定义
下面要给出的散度，形式是这样的：
其中 λ>0 是一个超参数，d 可以是任意距离。
这个形式好像就在 WGAN 的基础上加了一个平方形式的势能，所以称为平方势散度（QP-div，quadratic potential divergence）。
论文的附录已经证明了式 (12) 确实是一个散度。
性能分析
用 p(x)=δ(x−α),q(x)=δ(x−β) 去测试这个散度，结果是：
设 z=T(α,β)−T(β,α) 就得到
，很熟悉有没有？这只是个二次函数的最大值问题呀，最大值是
呀，所以我们就有：
这不就跟 WGAN 差不多了嘛，哪怕对于极端分布，也不会有梯度消失的风险。鱼与熊掌真的可以兼得。
GAN-QP
对抗网络
有了散度就可以构建对抗网络，我们最终给出的形式为：
我在论文中称之为 GAN-QP。
注意不要把二次项
这一项加入到生成器的 loss 中（理论上不成问题，但是用梯度下降优化时会有问题。），因为这一项的分母是 d(xr,xf)，一旦最小化二次项，等价于最小化 d(xr,xf)，也就是用 d(xr,xf) 来度量图片的差距，这是不科学的。
解的分析
通过变分法可以证明（还是在附录），判别器的最优解是：
由这个最优解，我们可以得到两点结论。首先，不难证明最优解满足：
也就是说最优解自动满足 L 约束。所以我们可以认为 GAN-QP 是一种自适应 L 约束的方案。
其次，将最优解代入生成器的 loss，那么得到判别器的目标是：
这也是一个概率散度，并且我们也从理论上证明了它不会梯度消失/爆炸（跟柯西不等式有关）。此外，还可以看到 λ 只是一个缩放因子，事实上并不重要，从而这个 GAN-QP 对 λ 是鲁棒的，λ 不会明显影响模型的效果。
实验结果
论文在 CelebA HQ 数据集上，比较了多种 GAN 与 GAN-QP 的效果，表明 GAN-QP 能媲美甚至超越当前最优的模型。
注意，模型 (15) 中，T 是 (xr,xf) 的二元函数，但实验表明，取最简单的一元特例 T(xr,xf)≡T(xr) 即可，即 T(xr,xf)−T(xf,xr) 用 T(xr)−T(xf) 就够了，改成二元函数并没有明显提升（但也可能是我没调好）。这样的话，形式上就跟 WGAN-GP 非常相似了，但理论更完备。
代码开源：https://github.com/bojone/gan-qp
128 x 128
在 128 x 128 分辨率上，我们进行了较为全面的比较，定量指标是 FID。结果如下图：
▲ 不同GAN的FID定量曲线以及下表：
256 与 512
在 128 分辨率上，最好的表现是 GAN-QP 和 SGAN-SN，不过在 256 x 256 分辨率上，它们的表现就拉开了差距：
我最大把 GAN-QP 的实验做到了 512 x 512 的人脸生成，效果还是不错的，最终的 FID 是 26.44：
▲ 512 x 512人脸效果图
论文综述
这篇文章源于我对概率散度的思考，企图得到一种更直接的理解概率散度的方案，其中还受启发于 WGAN-div。
幸好，最后把这条路走通了，还得到了一些新结果，遂提交到 Github 中，供各位参考，希望得到各位前辈高手的指点。事实上，基于类似的思路，我们可以构造很多类似的散度，比如将平方换成 4 次、6 次方等，只不过理论分析起来就会困难一些了。
限于算力，加之我不是专门研究 GAN 的，所以实验方面可能做得不够完善，基本能论证结论即可，请大家体谅，当然也欢迎各位的指导。
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