数学

当然，如果仅仅是引入输出的关联，还不仅仅是 CRF 的全部，CRF 的真正精巧的地方，是它以路径为单位，考虑的是路径的概率。 

模型概要

假如一个输入有 n 帧，每一帧的标签有 k 中可能性，那么理论上就有k^n中不同的输入。我们可以将它用如下的网络图进行简单的可视化。在下图中，每个点代表一个标签的可能性，点之间的连线表示标签之间的关联，而每一种标注结果，都对应着图上的一条完整的路径。

▲ 4tag分词模型中输出网络图

而在序列标注任务中，我们的正确答案是一般是唯一的。比如“今天天气不错”，如果对应的分词结果是“今天/天气/不/错”，那么目标输出序列就是 bebess，除此之外别的路径都不符合要求。

换言之，在序列标注任务中，我们的研究的基本单位应该是路径，我们要做的事情，是从 k^n 条路径选出正确的一条，那就意味着，如果将它视为一个分类问题，那么将是 k^n 类中选一类的分类问题。

这就是逐帧 softmax 和 CRF 的根本不同了：前者将序列标注看成是 n 个 k 分类问题，后者将序列标注看成是 1 个 k^n 分类问题。

具体来讲，在 CRF 的序列标注问题中，我们要计算的是条件概率：

为了得到这个概率的估计，CRF 做了两个假设：

假设一：该分布是指数族分布。

这个假设意味着存在函数 f(y1,…,yn;x)，使得：

其中 Z(x) 是归一化因子，因为这个是条件分布，所以归一化因子跟 x 有关。这个 f 函数可以视为一个打分函数，打分函数取指数并归一化后就得到概率分布。 

假设二：输出之间的关联仅发生在相邻位置，并且关联是指数加性的。

这个假设意味着 f(y1,…,yn;x) 可以更进一步简化为：

这也就是说，现在我们只需要对每一个标签和每一个相邻标签对分别打分，然后将所有打分结果求和得到总分。

线性链CRF

尽管已经做了大量简化，但一般来说，(3) 式所表示的概率模型还是过于复杂，难以求解。于是考虑到当前深度学习模型中，RNN 或者层叠 CNN 等模型已经能够比较充分捕捉各个 y 与输出 x 的联系，因此，我们不妨考虑函数 g 跟 x 无关，那么：

这时候 g 实际上就是一个有限的、待训练的参数矩阵而已，而单标签的打分函数 h(yi;x) 我们可以通过 RNN 或者 CNN 来建模。因此，该模型是可以建立的，其中概率分布变为：

这就是线性链 CRF 的概念。

归一化因子

为了训练 CRF 模型，我们用最大似然方法，也就是用：

作为损失函数，可以算出它等于：

其中第一项是原来概率式的分子的对数，它目标的序列的打分，虽然它看上去挺迂回的，但是并不难计算。真正的难度在于分母的对数 logZ(x) 这一项。

归一化因子，在物理上也叫配分函数，在这里它需要我们对所有可能的路径的打分进行指数求和，而我们前面已经说到，这样的路径数是指数量级的（k^n），因此直接来算几乎是不可能的。

事实上，归一化因子难算，几乎是所有概率图模型的公共难题。幸运的是，在 CRF 模型中，由于我们只考虑了临近标签的联系（马尔可夫假设），因此我们可以递归地算出归一化因子，这使得原来是指数级的计算量降低为线性级别。

具体来说，我们将计算到时刻 t 的归一化因子记为 Zt，并将它分为 k 个部分：

其中分别是截止到当前时刻 t 中、以标签 1,…,k 为终点的所有路径的得分指数和。那么，我们可以递归地计算：

它可以简单写为矩阵形式：

其中，而 G 是对 g(yi,yj) 各个元素取指数后的矩阵，即；而是编码模型（RNN、CNN等）对位置 t+1 的各个标签的打分的指数，即，也是一个向量。式 (10) 中，ZtG 这一步是矩阵乘法，得到一个向量，而 ⊗ 是两个向量的逐位对应相乘。

▲ 归一化因子的递归计算图示。从t到t+1时刻的计算，包括转移概率和j+1节点本身的概率

如果不熟悉的读者，可能一下子比较难接受 (10) 式。读者可以把 n=1,n=2,n=3 时的归一化因子写出来，试着找它们的递归关系，慢慢地就可以理解 (10) 式了。

动态规划

写出损失函数 −logP(y1,…,yn|x) 后，就可以完成模型的训练了，因为目前的深度学习框架都已经带有自动求导的功能，只要我们能写出可导的 loss，就可以帮我们完成优化过程了。 

那么剩下的最后一步，就是模型训练完成后，如何根据输入找出最优路径来。跟前面一样，这也是一个从 k^n 条路径中选最优的问题，而同样地，因为马尔可夫假设的存在，它可以转化为一个动态规划问题，用 viterbi 算法解决，计算量正比于 n。 

动态规划在本博客已经出现了多次了，它的递归思想就是：一条最优路径切成两段，那么每一段都是一条（局部）最优路径。在本博客右端的搜索框键入“动态规划”，就可以得到很多相关介绍了，所以不再重复了。

实现

经过调试，基于 Keras 框架下，笔者得到了一个线性链 CRF 的简明实现，这也许是最简短的 CRF 实现了。这里分享最终的实现并介绍实现要点。

实现要点

前面我们已经说明了，实现 CRF 的困难之处是 −logP(y1,…,yn|x) 的计算，而本质困难是归一化因子部分 Z(x) 的计算，得益于马尔科夫假设，我们得到了递归的 (9) 式或 (10) 式，它们应该已经是一般情况下计算 Z(x) 的计算了。 

那么怎么在深度学习框架中实现这种递归计算呢？要注意，从计算图的视角看，这是通过递归的方法定义一个图，而且这个图的长度还不固定。这对于 PyTorch这样的动态图框架应该是不为难的，但是对于TensorFlow或者基于 TensorFlow 的 Keras 就很难操作了（它们是静态图框架）。 

不过，并非没有可能，我们可以用封装好的 RNN 函数来计算。我们知道，RNN 本质上就是在递归计算：

新版本的 TensorFlow 和 Keras 都已经允许我们自定义 RNN 细胞，这就意味着函数 f 可以自行定义，而后端自动帮我们完成递归计算。于是我们只需要设计一个 RNN，使得我们要计算的 Z 对应于 RNN 的隐藏向量。

这就是 CRF 实现中最精致的部分了。

至于剩下的，是一些细节性的，包括：

1. 为了防止溢出，我们通常要取对数，但由于归一化因子是指数求和，所以实际上是这样的格式，它的计算技巧是：

TensorFlow 和 Keras 中都已经封装好了对应的 logsumexp 函数了，直接调用即可；

2. 对于分子（也就是目标序列的得分）的计算技巧，在代码中已经做了注释，主要是通过用“目标序列”点乘“预测序列”来实现取出目标得分；

3. 关于变长输入的 padding 部分如何进行 mask？我觉得在这方面 Keras 做得并不是很好。

为了简单实现这种 mask，我的做法是引入多一个标签，比如原来是 s、b、m、e 四个标签做分词，然后引入第五个标签，比如 x，将 padding 部分的标签都设为 x，然后可以直接在 CRF 损失计算时忽略第五个标签的存在，具体实现请看代码。

代码速览

纯 Keras 实现的 CRF 层，欢迎使用。

# -*- coding:utf-8 -*-

from keras.layers import Layer
import keras.backend as K


class CRF(Layer):
    """纯Keras实现CRF层
    CRF层本质上是一个带训练参数的loss计算层，因此CRF层只用来训练模型，
    而预测则需要另外建立模型。
    """
    def __init__(self, ignore_last_label=False, **kwargs):
        """ignore_last_label：定义要不要忽略最后一个标签，起到mask的效果
        """
        self.ignore_last_label = 1 if ignore_last_label else 0
        super(CRF, self).__init__(**kwargs)
    def build(self, input_shape):
        self.num_labels = input_shape[-1] - self.ignore_last_label
        self.trans = self.add_weight(name='crf_trans',
                                     shape=(self.num_labels, self.num_labels),
                                     initializer='glorot_uniform',
                                     trainable=True)
    def log_norm_step(self, inputs, states):
        """递归计算归一化因子
        要点：1、递归计算；2、用logsumexp避免溢出。
        技巧：通过expand_dims来对齐张量。
        """
        states = K.expand_dims(states[0], 2) # (batch_size, output_dim, 1)
        trans = K.expand_dims(self.trans, 0) # (1, output_dim, output_dim)
        output = K.logsumexp(states+trans, 1) # (batch_size, output_dim)
        return output+inputs, [output+inputs]
    def path_score(self, inputs, labels):
        """计算目标路径的相对概率（还没有归一化）
        要点：逐标签得分，加上转移概率得分。
        技巧：用“预测”点乘“目标”的方法抽取出目标路径的得分。
        """
        point_score = K.sum(K.sum(inputs*labels, 2), 1, keepdims=True) # 逐标签得分
        labels1 = K.expand_dims(labels[:, :-1], 3)
        labels2 = K.expand_dims(labels[:, 1:], 2)
        labels = labels1 * labels2 # 两个错位labels，负责从转移矩阵中抽取目标转移得分
        trans = K.expand_dims(K.expand_dims(self.trans, 0), 0)
        trans_score = K.sum(K.sum(trans*labels, [2,3]), 1, keepdims=True)
        return point_score+trans_score # 两部分得分之和
    def call(self, inputs): # CRF本身不改变输出，它只是一个loss
        return inputs
    def loss(self, y_true, y_pred): # 目标y_pred需要是one hot形式
        mask = 1-y_true[:,1:,-1] if self.ignore_last_label else None
        y_true,y_pred = y_true[:,:,:self.num_labels],y_pred[:,:,:self.num_labels]
        init_states = [y_pred[:,0]] # 初始状态
        log_norm,_,_ = K.rnn(self.log_norm_step, y_pred[:,1:], init_states, mask=mask) # 计算Z向量（对数）
        log_norm = K.logsumexp(log_norm, 1, keepdims=True) # 计算Z（对数）
        path_score = self.path_score(y_pred, y_true) # 计算分子（对数）
        return log_norm - path_score # 即log(分子/分母)
    def accuracy(self, y_true, y_pred): # 训练过程中显示逐帧准确率的函数，排除了mask的影响
        mask = 1-y_true[:,:,-1] if self.ignore_last_label else None
        y_true,y_pred = y_true[:,:,:self.num_labels],y_pred[:,:,:self.num_labels]
        isequal = K.equal(K.argmax(y_true, 2), K.argmax(y_pred, 2))
        isequal = K.cast(isequal, 'float32')
        if mask == None:
            return K.mean(isequal)
        else:
            return K.sum(isequal*mask) / K.sum(mask)

除去注释和 accuracy 的代码，真正的 CRF 的代码量也就 30 行左右，可以说跟哪个框架比较都称得上是简明的 CRF 实现了。

用纯 Keras 实现一些复杂的模型，是一件颇有意思的事情。目前仅在 TensorFlow 后端测试通过，理论上兼容 Theano、CNTK 后端，但可能要自行微调。

使用案例

我的 Github 中还附带了一个使用 CNN+CRF 实现的中文分词的例子，用的是 Bakeoff 2005 语料，例子是一个完整的分词实现，包括 viterbi 算法、分词输出等。 

Github地址：https://github.com/bojone/crf/ 

相关的内容还可以看我之前的文章：

中文分词系列：基于双向LSTM的seq2seq字标注 [2] 

中文分词系列：基于全卷积网络的中文分词 [3]

结语

终于介绍完了，希望大家有所收获，也希望最后的实现能对大家有所帮助。

参考文献

[1]. 果壳中的条件随机场 (CRF In A Nutshell)

https://kexue.fm/archives/4695

[2]. 中文分词系列：基于双向LSTM的seq2seq字标注

https://kexue.fm/archives/3924

[3]. 中文分词系列：基于全卷积网络的中文分词

https://kexue.fm/archives/4195