去年我曾发表过几篇有关使用神经网络进行金融价格预测的教程，我认为其中有一部分结果至少还挺有意思，并且值得在实际交易中加以应用。如果你阅读过这些文章，你一定注意到一个现象：当你试图将一些机器学习模型应用于「随机」数据并希望从中找到隐藏规律的时候，训练过程往往会产生严重的过拟合。我们曾使用不同的正则化技术和附加数据应对这个问题，但是这不仅很费时，还有种盲目搜索的感觉。
今天，我想介绍一个略微有些不同的方法对同样的算法进行拟合。使用概率的观点看待这个问题能够让我们从数据本身学习正则化、估计预测结果的确定性、使用更少的数据进行训练，还能在模型中引入额外的概率依赖关系。我不会过多深入贝叶斯模型或变分原理的数学、技术细节，而是会给出一些概述，也更多地将讨论集中在应用场景当中。文中所用的代码可以在以下链接中找到：https://github.com/Rachnog/Deep-Trading/tree/master/bayesian
与此同时，我也推荐大家查阅我此前发布的基于神经网络的财务预测教程：
1. 简单时间序列预测（错误纠正完毕）
2. 正确一维时间序列预测+回测
3. 多元时间序列预测
4. 波动预测和自定义损失
5. 多任务和多模式学习
6. 超参数优化
为了更深入地了解概率规划、贝叶斯模型以及它们的应用，我推荐你在以下资源网站中查看：
模式识别和机器学习
黑客贝叶斯方法
下面即将提到的库文件
另外，你还可能会用到下列 Python 库：
Edward (http://edwardlib.org/)
Pyro (http://pyro.ai/)
概率编程
这个「概率」指的是什么？我们为什么称其为「编程」呢？首先，让我们回忆一下我们所谓「正常的」神经网络指的是什么、以及我们能从中得到什么。神经网络有着以矩阵形式表达的参数（权重），而其输出通常是一些标量或者向量（例如在分类问题的情况下）。当我们用诸如 SGD 的方法训练这个模型后，这些矩阵会获得固定值。与此同时，对于同一个输入样本，输出向量应该相同，就是这样！但是，如果我们将所有的参数和输出视为相互依赖的分布，会发生什么？神经网络的权重将与输出一样，是一个来自网络并取决于参数的样本——如果是这样，它能为我们带来什么？
让我们从基础讲起。如果我们认为网络是一个取决于其他分布的数集，这首先就构成了联合概率分布 p(y, z|x)，其中有着输出 y 和一些模型 z 的「内部」隐变量，它们都取决于输入 x（这与常规的神经网络完全相同）。我们感兴趣的是找到这样神经网络的分布，这样一来就可以对 y ~ p(y|x) 进行采样，并获得一个形式为分布的输出，该分布中抽取的样本的期望通常是输出，和标准差（对不确定性的估计）——尾部越大，则输出置信度越小。
这种设定可能不是很明确，但我们只需要记住：现在开始，模型中所有的参数、输入及输出都是分布，并且在训练时对这些分布进行拟合，以便在实际应用中获得更高的准确率。我们也需要注意自己设定的参数分布的形状（例如，所有的初识权重 w 服从正态分布 Normal（0,1），之后我们将学习正确的均值和方差）。初始分布即所谓的先验知识，在训练集上训练过的分布即为后验知识。我们使用后者进行抽样并得出结果。
图源：http://www.indiana.edu/~kruschke/BMLR/
模型要拟合到什么程度才有用？通用结构被称为变分推理（variational inference）。无需细想，我们可以假设，我们希望找到一个可以得到最大对数似然函数 p_w（z | x）的模型，其中 w 是模型的参数（分布参数），z 是我们的隐变量（隐藏层的神经元输出，从参数 w 的分布采样得到），x 是输入数据样本。这就是我们的模型了。我们在 Pyro 中引入了一个实例来介绍这个模型，该简单实例包含所有隐变量 q_（z）的一些分布，其中 ф 被称为变分参数。这种分布必须近似于训练最好的模型参数的「实际」分布。
训练目标是使得 [log(p_w(z|x))—log(q_ф(z))] 的期望值相对于有指导的输入数据和样本最小化。在这里我们不探讨训练的细节，因为这里面的知识量太大了，此处就先当它是一个可以优化的黑箱吧。
对了，为什么需要编程呢？因为我们通常将这种概率模型（如神经网络）定义为变量相互关联的有向图，这样我们就可以直接显示变量间的依赖关系：
图源：http://kentonmurray.com/
而且，概率编程语言起初就被用于定义此类模型并在模型上做推理。
为什么选择概率编程？
不同于在模型中使用 dropout 或 L1 正则化，你可以把它当作你数据中的隐变量。考虑到所有的权重其实是分布，你可以从中抽样 N 次得到输出的分布，通过计算该分布的标准差，你就知道能模型有多靠谱。作为成果，我们可以只用少量的数据来训练这些模型，而且我们可以灵活地在变量之间添加不同的依赖关系。
概率编程的不足
我还没有太多关于贝叶斯建模的经验，但是我从 Pyro 和 PyMC3 中了解到，这类模型的训练过程十分漫长且很难定义正确的先验分布。而且，处理从分布中抽取的样本会导致误解和歧义。
数据准备
我已经从 http://bitinfocharts.com/ 抓取了每日 Ethereum（以太坊）的价格数据。其中包括典型的 OHLCV（高开低走），另外还有关于 Ethereum 的每日推特量。我们将使用七日的价格、开盘及推特量数据来预测次日的价格变动情况。
价格、推特数、大盘变化
上图是一些数据样本——蓝线对应价格变化，黄线对应推特数变化，绿色对应大盘变化。它们之间存在某种正相关（0.1—0.2）。因此我们希望能利用好这些数据中的模式对模型进行训练。
贝叶斯线性回归
首先，我想验证简单线性分类器在任务中的表现结果（并且我想直接使用 Pyro tutorial——http://pyro.ai/examples/bayesian_regression.html——的结果）。我们按照以下操作在 PyTorch 上定义我们的模型（详情参阅官方指南：http://pyro.ai/examples/bayesian_regression.html）
class RegressionModel(nn.Module):
def __init__(self, p):
super(RegressionModel, self).__init__()
self.linear = nn.Linear(p, 1)
def forward(self, x):
# x * w + b
return self.linear(x)
以上是我们以前用过的简单确定性模型，下面是用 Pyro 定义的概率模型：
def model(data):
def model(data):
# Create unit normal priors over the parameters
mu = Variable(torch.zeros(1, p)).type_as(data)
sigma = Variable(torch.ones(1, p)).type_as(data)
bias_mu = Variable(torch.zeros(1)).type_as(data)
bias_sigma = Variable(torch.ones(1)).type_as(data)
w_prior, b_prior = Normal(mu, sigma), Normal(bias_mu, bias_sigma)
priors = {'linear.weight': w_prior, 'linear.bias': b_prior}
lifted_module = pyro.random_module("module", regression_model, priors)
lifted_reg_model = lifted_module()
with pyro.iarange("map", N, subsample=data):
x_data = data[:, :-1]
y_data = data[:, -1]
# run the regressor forward conditioned on inputs
prediction_mean = lifted_reg_model(x_data).squeeze()
pyro.sample("obs",
Normal(prediction_mean, Variable(torch.ones(data.size(0))).type_as(data)),
obs=y_data.squeeze())
从上面的代码可知，参数 W 和 b 均定义为一般线性回归模型分布，两者都服从正态分布 Normal（0,1）。我们称之为先验，创建 Pyro 的随机函数（在我们的例子中是 PyTorch 中的 RegressionModel），为它添加先验 ({『linear.weight』: w_prior, 『linear.bias』: b_prior})，并根据输入数据 x 从这个模型 p(y|x) 中抽样。
这个模型的 guide 部分可能像下面这样：
def guide(data):
w_mu = Variable(torch.randn(1, p).type_as(data.data), requires_grad=True)
w_log_sig = Variable(0.1 * torch.ones(1, p).type_as(data.data), requires_grad=True)
b_mu = Variable(torch.randn(1).type_as(data.data), requires_grad=True)
b_log_sig = Variable(0.1 * torch.ones(1).type_as(data.data), requires_grad=True)
mw_param = pyro.param("guide_mean_weight", w_mu)
sw_param = softplus(pyro.param("guide_log_sigma_weight", w_log_sig))
mb_param = pyro.param("guide_mean_bias", b_mu)
sb_param = softplus(pyro.param("guide_log_sigma_bias", b_log_sig))
w_dist = Normal(mw_param, sw_param)
b_dist = Normal(mb_param, sb_param)
dists = {'linear.weight': w_dist, 'linear.bias': b_dist}
lifted_module = pyro.random_module("module", regression_model, dists)
return lifted_module()
我们定义了想要「训练」的分布的可变分布。如你所见，我们为 W 和 b 定义了相同的分布，目的是让它们更接近实际情况（据我们假设）。这个例子中，我让分布图更窄一些（服从正态分布 Normal(0, 0.1)）
然后，我们用这种方式对模型进行训练：
for j in range(3000):
epoch_loss = 0.0
perm = torch.randperm(N)
# shuffle data
data = data[perm]
# get indices of each batch
all_batches = get_batch_indices(N, 64)
for ix, batch_start in enumerate(all_batches[:-1]):
batch_end = all_batches[ix + 1]
batch_data = data[batch_start: batch_end]
epoch_loss += svi.step(batch_data)
在模型拟合后，我们想从中抽样出 y。我们循环 100 次并计算每一步的预测值的均值和标准差（标准差越高，预测置信度就越低）。
preds = []
for i in range(100):
sampled_reg_model = guide(X_test)
pred = sampled_reg_model(X_test).data.numpy().flatten()
preds.append(pred)
现在有很多经典的经济预测度量方法，例如 MSE、MAE 或 MAPE，它们都可能会让人困惑——错误率低并不意味着你的模型表现得好，验证它在测试集上的表现也十分重要，而这就是我们做的工作。
使用贝叶斯模型进行为期 30 天的预测
从图中我们可以看到，预测效果并不够好。但是预测图中最后的几个跳变的形状很不错，这给了我们一线希望。继续加油！
常规神经网络
在这个非常简单的模型进行实验后，我们想要尝试一些更有趣的神经网络。首先让我们利用 25 个带有线性激活的神经元的单隐层网络训练一个简单 MLP：
def get_model(input_size):
main_input = Input(shape=(input_size, ), name='main_input')
x = Dense(25, activation='linear')(main_input)
output = Dense(1, activation = "linear", name = "out")(x)
final_model = Model(inputs=[main_input], outputs=[output])
final_model.compile(optimizer='adam', loss='mse')
return final_model
训练 100 个 epoch：
model = get_model(len(X_train[0]))
history = model.fit(X_train, Y_train,
epochs = 100,
batch_size = 64,
verbose=1,
validation_data=(X_test, Y_test),
callbacks=[reduce_lr, checkpointer],
shuffle=True)
其结果如下：
使用 Keras 神经网络进行为期 30 天的预测
我觉得这比简单的贝叶斯回归效果更差，此外这个模型不能得到确定性的估计，更重要的是，这个模型甚至没有正则化。
贝叶斯神经网络
现在我们用 PyTorch 来定义上文在 Keras 上训练的模型：
class Net(torch.nn.Module):
def __init__(self, n_feature, n_hidden):
super(Net, self).__init__()
self.hidden = torch.nn.Linear(n_feature, n_hidden) # hidden layer
self.predict = torch.nn.Linear(n_hidden, 1) # output layer
def forward(self, x):
x = self.hidden(x)
x = self.predict(x)
return x
相比于贝叶斯回归模型，我们现在有两个参数集（从输入层到隐藏层的参数和隐藏层到输出层的参数），所以我们需要对分布和先验知识稍加改动，以适应我们的模型：
priors = {'hidden.weight': w_prior,
'hidden.bias': b_prior,
'predict.weight': w_prior2,
'predict.bias': b_prior2}
以及 guide 部分：
dists = {'hidden.weight': w_dist,
'hidden.bias': b_dist,
'predict.weight': w_dist2,
'predict.bias': b_dist2}
请不要忘记为模型中的每一个分布起一个不同的名字，因为模型中不应存在任何歧义和重复。更多代码细节请参见源代码：https://github.com/Rachnog/Deep-Trading/tree/master/bayesian
训练之后，让我们看看最后的结果：
使用 Pyro 神经网络进行为期 30 天的预测
它看起来比之前的结果都好得多！
比起常规贝叶斯模型，考虑到贝叶斯模型所中习得的权重特征或正则化，我还希望看到权重的数据。我按照以下方法查看 Pyro 模型的参数：
for name in pyro.get_param_store().get_all_param_names():
print name, pyro.param(name).data.numpy()
这是我在 Keras 模型中所写的代码：
import tensorflow as tf
sess = tf.Session()
with sess.as_default():
tf.global_variables_initializer().run()
dense_weights, out_weights = None, None
with sess.as_default():
for layer in model.layers:
if len(layer.weights) > 0:
weights = layer.get_weights()
if 'dense' in layer.name:
dense_weights = layer.weights[0].eval()
if 'out' in layer.name:
out_weights = layer.weights[0].eval()
例如，Keras 模型最后一层的权重的均值和标准差分别为 -0.0025901748 和 0.30395043，Pyro 模型对应值为 0.0005974418 和 0.0005974418。数字小了很多，但效果真的不错！其实这就是 L2 或 Dropout 这种正则化算法要做的——把参数逼近到零，而我们可以用变分推理来实现它！隐藏层的权重变化更有趣。我们将一些权重向量绘制成图，蓝线是 Keras 模型的权重，橙线是 Pyro 模型的权重：
输入层与隐藏层之间的部分权重
真正有意思的不止是权重的均值与标准差变得小，还有一点是权重变得稀疏，所以基本上在训练中完成了第一个权重集的稀疏表示，以及第二个权重集的 L2 正则化，多么神奇！别忘了自己跑跑代码感受一下：https://github.com/Rachnog/Deep-Trading/tree/master/bayesian
小结
我们在文中使用了新颖的方法对神经网络进行训练。不同于顺序更新静态权重，我们是更新的是权重的分布。因此，我们可能获得有趣又有用的结果。我想强调的是，贝叶斯方法让我们在调整神经网络时不需要手动添加正则化，了解模型的不确定性，并尽可能使用更少的数据来获得更好的结果。感谢阅读：)
