这是应用于 NLP 的连续监督学习系列博文的第二篇。它可以看作是上一篇文章的续作（参见：深度 | 从朴素贝叶斯到维特比算法：详解隐马尔科夫模型），在上一篇博客中，作者试着解释了隐马尔科夫模型（HMM）和朴素贝叶斯（Naive Bayes）之间的关系。在这篇博客中，作者将尝试解释如何构建一个基于 Logistic 回归分类器的序列分类器，即，使用一种有区别性的方法。
判定模型 vs 生成模型
上一篇博文中，我讨论了朴素贝叶斯模型，以及它与隐马尔可夫模型之间的联系。它们都属于生成模型，但本文要讲的 Logistic 回归模型是一个判定模型，全文以讨论这种差异开始。
通常，机器学习分类器通过从所有可能的 y_i 中选择有最大的 P(y | x) 的那个，来决定将哪个输出标签 y 分配给输入 x。
朴素贝叶斯分类器通过应用贝叶斯定理间接估计 p(y | x)，然后计算类的条件分布/概率 P(x | y) 和先验概率 P(y)。
这种间接性使得朴素贝叶斯成为一种生成模型，一种通过训练从类 y 生成数据 x 的模型。p(x | y) 的意义是给定一个类 y，然后预测对应的输入 x 中包含哪些特征。相比之下，判定模型通过直接判定类别 y 的不同可能值来计算 p(y | x)，而不是计算概率。Logistic 回归分类器正是这种分类器。
Logistic 回归
Logistic 回归是用于分类的一种监督学习算法，它的本质是线性回归。
当用于解决 NLP 任务时，它通过从输入文本中提取特征并线性组合它们来估计 p(y | x)，即，将每个特征乘以一个权重，然后将它们相加，然后将指数函数应用于该线性组合：
其中 f_i 是一个特征，w_i 是与该特征相关的权重。对于权重和特征点积进行的 exp（即，指数函数）确保所有值都是正值，并且需要除以分母 Z 以得到（所有概率值的总和为 1）有效概率。
提取到的是二值特征，即只取值 0 和 1，通常称为指标函数。其中每一个特征都是通过输入 x 和类 y 的函数来计算的。每个指标函数表示为 f_i(y , x)，对于类 y 的特征 i，给定观测值 x：
训练
我们想通过训练 logistic 回归来获得每一个特征的理想权重（使训练样本和属于的类拟合得最好的权重）。
Logistic 回归用条件极大似然估计进行训练。这意味着我们将选择参数 w，使对给定输入值 x 在训练数据中 y 标签的概率最大化：
需要最大化的目标函数是：
通过用前面展示的扩展形式替换，并应用对数除法规则，得到以下形式：
通常可以运用随机梯度下降法、L-BFGS 或共轭梯度法来求此函数的最大值，即找到最优权重。
分类
在分类任务中，logistic 回归通过计算给定观察的属于每个可能类别的概率，然后选择产生最大概率的类别。
最大熵马尔可夫模型
最大熵马尔可夫模型（Maximum Entropy Markov Model，MEMM）的思想是利用 HMM 框架预测给定输入序列的序列标签，同时结合多项 Logistic 回归（又名最大熵，其给出了可以从输入序列中提取特征的类型和数量上的自由度）。
HMM 基于两种概率：
- P(tag | tag) 状态转换，从一个状态到另一个状态的概率。
- P(word | tag) 输出概率，从一个状态输出一个字的概率。
在现实问题中，我们要预测一个给定词/输入的标签/状态。但是，由于贝叶斯定理（即生成方法），在 HMM 中不可能进行编码，而模型估计的是产生某个确定单词的状态的概率。
MEMM 因包含丰富的输入特征而备受推崇：
- 「除了传统的单词识别之外，还有描述输入的多种重叠特征的表示，例如大写字母、单词结尾、词类、格式、页面上的位置以及 WordNet 中的节点成员等。
也可以用一个判定方法来解决预测问题：
- 「传统的方法通过设置 HMM 参数以最大化输入序列的概率; 然而，在大多数文本应用中，其任务是根据输入序列来预测状态序列。换句话说，传统方法不恰当地使用生成联合模型来解决给定输入的条件问题。「
（左）传统 HMM 的依赖关系图。（右）最大熵马尔可夫模型的依赖关系图（选自 A. McCallum et al. 2000）。
在最大熵马尔可夫模型中，转换函数和输入函数（即上一篇博客的 HMM 矩阵 A 和 B）被单个函数代替：
给定前一个状态 s_t-1 和当前的输入值 o_t，得到当前状态的概率 s_t。下图展示了计算状态/标签/标记转换的不同之处。
HMM 和 MEMM 之间状态转换估计的对比。（选自「Speech and Language Processing」，Daniel Jurafsky & James H. Martin）
与当前输入仅依赖于当前状态的 HMM 相比，MEMM 中的当前输入也可以取决于之前的状态。HMM 模型对于每个转换和输入都有确定的概率估计，而 MEMM 给出每个隐藏状态的一个概率估计，这是给定前一个标记和输入值情况下的下一个标记的概率。
在 MEMM 而不是转换和观测矩阵中，只有一个转换概率矩阵。该矩阵将训练数据中先前状态 S_t-1 和当前输入 O_t 对的所有组合封装到当前状态 S_t。
令 N 为独特状态的个数，M 为独特单词的个数，矩阵的形状为：
(N⋅M)⋅N
特征函数
MEMM 可以对输入值的任何有用特征进行条件化。在 HMM 中这是不可能的，因为 HMM 是基于概率的，因此需要计算每个输入特征的概率。使用状态-输入转换函数，而不是像 HMM 那样的独立的转换和输入函数，使我们能够对输入的多个非独立特征进行建模。
这是通过多项 logistic 回归来实现的，给定先前标记（即，s'），输入词（即，o）和任意其它特征（即，fi(x,y’)）来估计每个局部标记的概率：
其中 w_i 是与每个特征 f_i(x,y) 相关联的需要学习的权重，Z 是使矩阵在每行上总和为 1 的归一化因子。
考虑整个观测序列的特征函数。（选自「Speech and Language Processing」，Daniel Jurafsky & James H. Martin）
训练与解码
最初发表于 2000 年的 MEMM 论文使用广义迭代缩放（GIS）算法来拟合多项 logistic 回归，即根据训练数据找到完美的权重。该算法在很大程度上被基于梯度的方法（如 L-BFGS）所超越。
使用与 HMM 中相同的 Viterbi 算法进行解码，尽管不是那么适合估计状态转换的新方法。
MEMM 的重要结论
- 相对于 HMM 的主要优势是使用特征向量，使得转换概率对输入序列中的任何词都敏感。
- 每个（状态，单词）对都有一个指数模型来计算下一个状态的条件概率。
- 指数模型允许 MEMM 支持整个观测序列与前一状态（而不是两个不同的概率分布）的长距离交互。
- MEMM 还可以扩展为包含涉及额外过去状态（而不仅仅是前一个状态）的特征。
- 它也使用 Viterbi 算法（稍作改动）来执行解码。
- 它受到标签偏差问题的影响，我将在下一篇关于条件随机场的文章中详细介绍。
软件包
- https://github.com/willxie/hmm-vs-memm:一个由 William Xie 负责的课程项目，在词性标注方面的任务上实现且比较了 HMM 与 MEMM。
- https://github.com/yh1008/MEMM:由 Emily Hua 发布的名词短语拆分任务的实现。
- https://github.com/recski/HunTag:由 GáborRecski 发布的序列句子标记的实现，并有详细文档。
参考文献
- Chapter 7:「Logistic Regression」in Speech and Language Processing. Daniel Jurafsky & James H. Martin. Draft of August 7, 2017.（https://web.stanford.edu/~jurafsky/slp3/7.pdf）
- Maximum Entropy Markov Models for Information Extraction and Segmentation（http://www.ai.mit.edu/courses/6.891-nlp/READINGS/maxent.pdf）
- Chapter 6:「Hidden Markov and Maximum Entropy Models」in Speech and Language Processing. Daniel Jurafsky & James H. Martin. Draft of September 18, 2007（https://www.cs.jhu.edu/~jason/papers/jurafsky+martin.bookdraft07.ch6.pdf）
- Hidden Markov Models vs. Maximum Entropy Markov Models for Part-of-speech tagging（https://github.com/willxie/hmm-vs-memm）
