如何估算深度神经网络的最优学习率

学习率（learning rate）是调整深度神经网络最重要的超参数之一，本文作者 Pavel Surmenok 描述了一个简单而有效的办法来帮助你找寻合理的学习率。

GitHub 链接：https://gist.github.com/surmenok

我正在旧金山大学的 fast.ai 深度学习课程中学习相关知识。目前这门课程还没有对公众开放，但是现在网络上有去年的版本，且年末会在 course.fast.ai (http://course.fast.ai/) 上更新。

学习率如何影响训练？

深度学习模型通常由随机梯度下降算法进行训练。随机梯度下降算法有许多变形：例如 Adam、RMSProp、Adagrad 等等。这些算法都需要你设置学习率。学习率决定了在一个小批量（mini-batch）中权重在梯度方向要移动多远。

如果学习率很低，训练会变得更加可靠，但是优化会耗费较长的时间，因为朝向损失函数最小值的每个步长很小。

如果学习率很高，训练可能根本不会收敛，甚至会发散。权重的改变量可能非常大，使得优化越过最小值，使得损失函数变得更糟。

学习率很小（上图）和学习率很大（下图）的梯度下降。来源：Cousera 机器学习课程（吴恩达）

训练应当从相对较大的学习率开始。这是因为在开始时，初始的随机权重远离最优值。在训练过程中，学习率应当下降，以允许细粒度的权重更新。

有很多方式可以为学习率设置初始值。一个简单的方案就是尝试一些不同的值，看看哪个值能够让损失函数最优，且不损失训练速度。我们可能可以从 0.1 这样的值开始，然后再指数下降学习率，比如 0.01，0.001 等等。当我们以一个很大的学习率开始训练时，在起初的几次迭代训练过程中损失函数可能不会改善，甚至会增大。当我们以一个较小的学习率进行训练时，损失函数的值会在最初的几次迭代中从某一时刻开始下降。这个学习率就是我们能用的最大值，任何更大的值都不能让训练收敛。不过，这个初始学习率也过大了：它不足以训练多个 epoch，因为随着时间的推移网络将需要更加细粒度的权重更新。因此，开始训练的合理学习率可能需要降低 1-2 个数量级。

一定有更好的方法

Leslie N. Smith 在 2015 年的论文「Cyclical Learning Rates for Training Neural Networks」的第 3.3 节，描述了一种为神经网络选择一系列学习率的强大方法。

诀窍就是从一个低学习率开始训练网络，并在每个批次中指数提高学习率。

在每个小批量处理后提升学习率

为每批样本记录学习率和训练损失。然后，根据损失和学习率画图。典型情况如下：

一开始，损失下降，然后训练过程开始发散

首先，学习率较低，损失函数值缓慢改善，然后训练加速，直到学习速度变得过高导致损失函数值增加：训练过程发散。

我们需要在图中找到一个损失函数值降低得最快的点。在这个例子中，当学习率在 0.001 和 0.01 之间，损失函数快速下降。

另一个方式是观察计算损失函数变化率（也就是损失函数关于迭代次数的导数），然后以学习率为 x 轴，以变化率为 y 轴画图。

损失函数的变化率

上图看起来噪声太大，让我们使用简单移动平均线（SMA）来做平缓化处理。

使用 SMA 平缓化处理后的损失函数变化率

这样看起来就好多了。在这个图中，我们需要找到最小值位置。看起来，它接近于学习率为 0.01 这个位置。

实现

Jeremy Howard 和他在 USF 数据研究所的团队开发了 fast.ai。这是一个基于 PyTorch 的高级抽象的深度学习库。fast.ai 是一个简单而强大的工具集，可以用于训练最先进的深度学习模型。Jeremy 在他最新的深度学习课程（http://www.fast.ai/）中使用了这个库。

fast.ai 提供了学习率搜索器的一个实现。你只需要写几行代码就能绘制模型的损失函数-学习率的图像（来自 GitHub：plot_loss.py）：

# learn is an instance of Learner class or one of derived classes like ConvLearner
learn.lr_find()
learn.sched.plot_lr()

库中并没有提供代码绘制损失函数变化率的图像，但计算起来非常简单（plot_change_loss.py）：

def plot_loss_change(sched, sma=1, n_skip=20, y_lim=(-0.01,0.01)):
    """
    Plots rate of change of the loss function.
    Parameters:
        sched - learning rate scheduler, an instance of LR_Finder class.
        sma - number of batches for simple moving average to smooth out the curve.
        n_skip - number of batches to skip on the left.
        y_lim - limits for the y axis.
    """
    derivatives = [0] * (sma + 1)
    for i in range(1 + sma, len(learn.sched.lrs)):
        derivative = (learn.sched.losses[i] - learn.sched.losses[i - sma]) / sma
        derivatives.append(derivative)
    plt.ylabel("d/loss")
    plt.xlabel("learning rate (log scale)")
    plt.plot(learn.sched.lrs[n_skip:], derivatives[n_skip:])
    plt.xscale('log')
    plt.ylim(y_lim)
plot_loss_change(learn.sched, sma=20)

请注意：只在训练之前选择一次学习率是不够的。训练过程中，最优学习率会随着时间推移而下降。你可以定期重新运行相同的学习率搜索程序，以便在训练的稍后时间查找学习率。

使用其他库实现本方案

我还没有准备好将这种学习率搜索方法应用到诸如 Keras 等其他库中，但这应该不是什么难事。只需要做到：

1. 多次运行训练，每次只训练一个小批量；

2. 在每次分批训练之后通过乘以一个小的常数的方式增加学习率；

3. 当损失函数值高于先前观察到的最佳值时，停止程序。（例如，可以将终止条件设置为「当前损失 > *4 最佳损失」）

还有更多……

选择学习率的初始值只是问题的一部分。另一个需要优化的是学习计划（learning schedule）：如何在训练过程中改变学习率。传统的观点是，随着时间推移学习率要越来越低，而且有许多方法进行设置：例如损失函数停止改善时逐步进行学习率退火、指数学习率衰退、余弦退火等。

我上面引用的论文描述了一种循环改变学习率的新方法，它能提升卷积神经网络在各种图像分类任务上的性能表现。