编者按：UCLA以电路方向的研究和教学闻名于世界，Behzad Razavi教授和Asad Abidi教授更是世界闻名的电路大师。UCLA的研究生课程模拟集成电路设计（EE215A）正是由Razavi和Abidi两位大师轮流授课。我们整理了其中精华部分与大家分享:)前情回顾：电路大师课系列-模拟集成电路设计第一讲:绪论与线性时不变系统电路大师课系列-模拟集成电路设计第二讲:传输函数，零极点的形成及时域响应电路大师课系列-模拟集成电路设计第三讲:零极点与频率响应电路大师课系列-模拟集成电路设计第四讲:基本π网络（上）电路大师课系列-模拟集成电路设计第五讲:基本π网络（下）
焦魔最近在橙县尔湾实习，逍遥自在，乐不思蜀，已经不大想再回山鸡村了！闲暇之余，给大家带来第六讲——EKV模型（上）
说到MOS管的模型，大家应该并不陌生。针对不同的应用和需求，我们要选取相应合适的模型。比如在数字电路中，通常使用简单的开关模型或电阻-电容（RC）模型。而在模拟电路中，需要适用于不同偏置条件，不同频率的模型，对于亚微米器件，还要考虑沟道长度调制、速度饱和等短沟道效应。在仿真软件中采用的，主要是加州大学伯克利分校的一个研究小组发明的BSIM（Berkeley Short-channel IGFET Model）模型。在IC设计中，第一步往往是手算（hand calculation），而BSIM模型有上百个参数，因而我们再手算时往往会采用简化的模型，其中大家最熟悉的莫过于平方率模型。但平方率模型有两个主要的局限之处，一是难以包括诸多短沟道效应，二是只适用于MOS管偏置在强反型区（strong inversion）时的情况。在很多电路中，为了在相同的偏置电流下获得更高的增益，或者在相同增益下减小功耗，MOS管常需要偏置在弱反型区和中反型区。因而，我们需要一个在强反型区（strong inversion）、中间反型区（moderate inversion）和弱反型区（weak inversion）连续准确，且能很好包含各种短沟道效应，有方便手算的模型。
目前流行的MOS管模型大致可分为两类，一类是基于阈值电压（Threshold Voltage-based）的模型，典型的代表为BSIM3和BSIM4，大家可以参阅Razavi的课本。它的一个典型特征就是阈值电压是Vsb的函数，以此来刻画体效应。这一类模型在深亚微米工艺下有较大的局限性。另一类基于电荷（Charge-based）的模型，其代表为BSIM6和EKV模型。BSIM6模型是现在仿真工具中的CMOS工艺的标准模型（2013年发布）。而Abidi教授在课堂上讲述的EKV模型，能够在手算过程中提供很多设计指导。（EKV，由其三位发明者Enz，Krummenacher，Vittoz的名字首字母命名）
如下图所示是一个NMOS的模型图。MOS管是四端器件，包括源端（S）、漏端（D）、栅端（G）和衬底（B）。在标准CMOS工艺中，所有MOS管共用一个P型衬底，为了防止PN结正偏，P型衬底一般接GND。Vs、VD、VG均相对于衬底电压定义。源极和漏极完全对称，逐渐增加栅极电压，在器件表面会出现反型层，对于NMOS来说，反型层由电子组成。反型层非常薄，其厚度可以近似忽略不计（Charge-Sheet Approximation），因而在分析中我们采用简单的一维模型。在图中以源极为原点，由源极引向漏极画出x轴。
如下图所示，我们将坐标为x处反型层的面电荷密度记为Qinv’(x)，该处的沟道电压（相对于衬底）记为Vch(x)，
栅极、反型层和夹在中间的栅氧化层可以看出一个平行板电容器，则反型层面电荷密度与两极板间的电压的关系如下：
下面我们定义两个重要的概念：夹断电压（Vp, pinch-off voltage）和阈值电压（Vt0, threshold voltage）。在下图中，源极和漏极保持等电位，这样整个沟道的电势相同。如果固定VG，当沟道电压增加至Vp时，反型层电荷密度减为0；如果固定沟道电压为0V，当VG减为Vt0时，反型层电荷密度减为0。这里的阈值电压Vt0是定义在整个沟道等电位且电位为0的条件下，因而是一个定值，与之形成对比，传统模型中的阈值电压VTH是Vsb的函数。另外值得注意的是，夹断电压Vp的定义不只在源极漏极等电位使才有效，只要沟道中某一点的电压Vch(x)大于Vp，在该点处沟道就会被夹断。
夹断电压和栅极电压的关系如下图所示，这种非线性是由反型层下方的势垒电容Cdep的非线性造成的（在介绍MOS管电容模型时我们会详细阐述）。为了简化模型，通常用一条斜率为1/n的直线来近似，即Vp= (VG-Vt0)/n。在之后的计算中我们采用n = 1.5。注意：有的时候Vp与VG-Vt0的非线性关系会导致大信号偏置电路无法工作，具体地说，就是我们会推出n既大于1，又小于1，说明联立不等式无解。这个例子我们会在之后介绍偏置电路的时候举一个例子。
根据以上的近似，可以画出Qinv’和Vch的关系。当Vch= Vp时，沟道被夹断，电荷密度为0；当Vch= 0时，Qinv’= Cox’*(VG – Vt0)。细心的童鞋们可能已经注意到，下图的关系式与之前所列的平行班电容器的公式略有偏差，原因就是之前的公式是在忽略势垒电容Cdep的效应，或者说在n= 1的条件下推出的。
有了上面的铺垫，我们接下来推导电流的公式
将积分公式图形化，即为计算下图中梯形的面积，简单直观。这种图形化的方法将是我们之后进行分析的主要武器！
可以将上面的电流公式拆分为两部分：前向电流（IF,Forward Current）和后向电流（IR,Reverse Current），前向电流只受VG和VS的控制，后向电流只受VG和VD的控制
在下图中，我们通过计算三角形和梯形面积的方式推导出了MOS管在饱和区（SaturationRegion）和三极管区（TriodeRegion）的电流公式。当n= 1时，公式与平方律模型一致。
下面我们通过几个例子来体会一下EKV模型的应用：
在下图两个电路中，(b)比(a)的栅极和源极电压同时增加了Vs。我们可以通过比较三角形的面积来分析比较两个电路中流过MOS管电流的大小。图中黑色的三角形代表(a)中的电流，红色阴影部分的三角形代表(b)中的电流，显然黑色三角形面积更大，如果两图中的MOS管有相同的β，则知(a)中电流比(b)大。
如果用传统模型分析，由于两个电路中的MOS管VGS相同，而(b)中的VSB大于零，故(b)中MOS管的VTH更高，因而(VGS-VTH)更小，所以(b)中电流比(a)小。两种模型能得到相同的定性的结论，但相比较而言，EKV模型更加直观形象。
接下来我们再看看第二个例子。这是两个串联的MOS管，它们可以等效为一个新的MOS管。假设三个MOS管的宽度W都相同，又由于流过两个串联MOS管的电流相同，我们可以通过画图推出等效的MOS管的L3= L1 + L2。
由以上的例子可以看出，运用EKV模型，通过画图的方式可以很形象地进行大信号的分析（在之后分析各种偏置电路以及差分对时我们会有更深刻的体会）。接下来我们要学习下MOS管的小信号模型。与传统模型不同的是，这里把小信号受控电流源分为了三部分，每一部分分别由vg,vs, vd独立控制，对应了三个小信号跨导gmg,gms, gmd。与三个受控电流源并联的是描述沟道长度调制效应的电导gds，这一效应我们将在下一讲中详细阐述。
三个跨导的表达式我们可以在图中通过计算矩形面积的方式推导而得：
与传统小信号模型不一样的的地方：
传统小信号模型中受控源的控制电压是相对于源端（S）的，这导致我们在做节点分析的时候需要把vgs这种电压拆分成(vg-vs)，然后在等式两边移动，这样经常会出错，而且面试的时候会显得非常慌乱。
EKV小信号模型中受控源的控制电压都是相对于衬底（B）电压的，这样的好处就是做节点分析的时候速度非常快，经常是可以直接看着MOS管的电路图列出小信号等式，不需要再画一下小信号模型，面试的时候可以从容不迫。
我们接下来还是通过两个例子熟悉小信号模型的应用：
第一个例子是一个简单的源极跟随器。由于是恒定电流源偏置，因此漏源交流电流恒为0。由此列式即可推出电压增益的表达式。
第二个例子是一个源极负反馈的单级放大器。画出小信号模型后，我们可以轻松地推导出该电路的电压增益。
在下一讲中，我们会详细介绍MOS管在弱反型区的模型，并通过插补的方式推导出我们需要一个在强反型区、中间反型区和弱反型区连续准确的模型。我们还会介绍两个主要的短沟道效应——速度饱和效应和沟道长度调制效应。此外还会有MOS管的电容模型。大家敬请期待。
